2022年4月14日上午，南开大学经济学院云鹰读书会在线上顺利进行，本次读书会由2018级本科生颜茜楠指导推进，由2020级本科生王英至、2019级本科生柳妍婷、2021级硕士生戴萌萌、2018级本科生李阳展示Robert M. Solow的论文：Technical change and the aggregate production function[J]. The review of Economics and Statistics, 1957: 312-320.，由国际经济贸易系王永进老师、杨嗣强老师跟进指导。

基本假设：

1、中性，规模不变

2、时间连续且完全可微

3、生产函数的紧凑形式满足稻田条件，即资本存量极小时，资本的边际产出极大；资本存量极大时，资本的边际产出极小

4、MPL=w，MPK=r

模型构建：

Q：产出

K和L：单位资本和劳动投入

t：在F中考虑的技术变化

生产函数：Q=F（K，L，t）   （1）

A（t）衡量随时间变化的累积效应，在中性情况下，（1）式可变为（1a）式：

Q=A（t）F（K，L）  （1a）

行文至此，作者已经对技术进步的测量及应用做出详细阐述。第三部分则是对总生产函数的一些探讨。

根据规模报酬不变的假设，将（1a）等式两边同时除以L，从而推出（3）式。（3）式中q和k的关系正如上文提到的图1所示。从图1可见，由于技术进步的存在，给定同一个人均资本k所得到的人均产出有所不同，分布在不同的曲线上。这不利于我们研究生产函数f。因此，本文试图剔除技术进步所带来的影响。 

由于我们已经得到了技术进步A(t)的连续估计值，所以剔除影响并不困难，本文的处理方式是对（3）式两边同时除以A(t)，得到（3’）式。且本文预期到在剔除技术进步的影响后，q/A与k的观测值所组成的点应该收敛到一条曲线上。如符合预期，我们就可以对生产函数进行研究。

代入本文样本数据后，剔除技术进步后的人均产出q/A和人均资本k的散点关系如图4所示。由于我们先前对原始数据进行了大量的校正，所以对这些散点排列还是非常紧密的。但我们看到有一层明显较高的点，这是超出预期的。研究发现，这些异常点对应于研究期间的最后七年，即1943-1949年。接下来，本文对异常点产生的原因做了可能的猜测：首先可以看出，这些异常点组成的点层与正常点层近乎平行，可以猜测是生产函数移动导致的吗？答案是否定的，因为在对图4的处理中我们已经剔除了生产函数移动即技术进步带来的影响，所以这种解释是行不通的。另一种可能的解释把异常层的存在归因于1943-1949这七年的资本使用与前面年份是系统不可比的。

详细来看，这七年包含了战中和战后两个期间。首先，1943年到1945年这段时间属于二战期间，战争期间通过对资本的多轮使用，使得资本服务的使用更加密集，但由于资本服务这一数据难以获得，所以本文使用实物资本存量指标来衡量k，这种衡量方法的缺陷在于无法反应对资本服务的密集使用，因而资本投入被低估，这种对资本投入的低估导致了对生产率增长的高估，所以1943-1945年，这些点落在较高的异常层上。实际上，如果资本度量准确，他们应该落在图中更靠右、靠上的位置。对于1946-1949战后期间，我们可以用战争以后仍然对资本进行多轮使用作为解释依据，但作者认为这不太可能解释偏离产生的全部原因，因而提出了另一种猜测，即1945年以后采用的加速折旧法可能导致对资本存量的低估，进而导致异常点的产生。以上是本文对于异常层产生原因的全部解释。

在开始讨论生产函数之前，我们需要注意本文提出的一个注意事项。作者是不同意对样本数据随意截断的，因此在文章第一版时保留了异常值进行分析。但经过试验发现保留异常值只会引起结果的失真和扭曲。因此，尽管这种做法有些不妥，作者最终还是删除了1943-1949年这七年的观测值进行分析。

进入对生产函数具体形式的讨论。首先，从图4可以看出该曲线呈现出一种持续的但并不剧烈的边际收益递减现象，即单位人均资本的增加所带来的人均产出的增加在减少。这里我们暂时不考虑当人均资本达到饱和时的情况，论文最后会对资本饱和状态进行单独分析。本文选取拟合函数形式的考虑因素有以下几点：（1） 两参数曲线簇；（2）为了计算方便，选择参数是线性的拟合曲线；（3）除了用以对比的直线外，选取至少能够呈现出边际收益递减特性的拟合线。

本文共选取了下面五种函数进行拟合。（4a）是线性形式，（4b）是半对数形式，（4c）是双曲线，（4d）是柯布道格拉斯形式；（4e）是一个边际收益先递增又递减的函数，经过简单计算可得拐点是k=β/2，并且我们的样本数据中k的观测值均分布在拐点右侧，即边际收益递减的阶段，因此符合拟合函数选取的要求。其中，（4b）和（4c）均与横轴正半轴有交点，从经济学角度解释，必须要达到某个正的人均资本以后，人均产出才能为正数，检验后发现样本期间内所有的人均资本观测值均在交点右侧；此外，（4c）和（4e）两种函数形式均存在上界。

用上述五种曲线形式对散点进行拟合所得结果如表2所示。可以看出这五种函数形式拟合后得到的相关系数都非常高，看似都能比较好的对图4进行拟合。仅从相关系数的角度，（4b）半对数形式和（4d）柯布道格拉斯形式表现较好，相关系数最高，为0.9996。

下图是对表2的拟合结果所画的简图，通过该图可对五种拟合函数形式有一个直观的理解。

上述五种拟合曲线均可视为g(y)=α+βh(x)形式的，可以作为线性回归来理解。为了进一步对五种拟合形式进行选择，本文采用了Prais and Houthakker合著的一本书《The analysis of family budgets》中提到的从对非线性性测量的角度对拟合优劣进行检验的一种方法。这种方法可以理解为，我们希望按照自变量取值递增的方式排列的残差序列是随机的。但如果残差序列展现出强烈的序列相关，或者当残差长期为正和残差长期为负交替出现时，就可以认为偏离了线性的情况，拟合形式表现并不太好。本文也用“残差序列相关的程度”作为非线性性的一种衡量，并基于此判断拟合形式的优劣。

本文对（4a）线性拟合,（4b）半对数形式,（4d）柯布道格拉斯三种形式进行了上述检验。我们发现（4a）线性形式是一个较差的拟合，（4b）和（4d）都通过了检验，在二者之间几乎没有选择的余地。因此，本文比较有力地验证了前文视觉感受到的图4边际收益递减的真实性。

资本饱和状态：

总生产函数没有显示出资本饱和的状态，也不存在真正的渐近线。于是文章将0.95作为q的饱和状态 并使用4a：q=α+βk 作为最低限度的资本饱和状态，其饱和值大概为5.7，是目前资本值的两倍。

文章进一步联系到总产出 我们更关心资本的净生产率，但这两者之间区别的关键是：贬值（depreciation），但缺乏关于贬值在长期的估计 故不能做出关于净产出的整体分析。但仍可以分析：边际生产总值降低至“边际折旧率”时，资本的边际生产率为0。例如：当增加一些资本时，增加的产品仅足以弥补资本增量本身的折旧。近年来 国民生产净值（NNP）增长速度约为国民生产总值的90% 故资本折旧约为国民生产总值的10%。由Table1 可知 资本每年的产出约为2%-3%，也就是说，资本每年的折旧率也在2%-3%，即资本饱和状态在资本边际产出降至3%-5%，此时，劳动资本比率约为5（甚至更高）。

敬请期待！